Что такое функция?

Решение 3-х более сложных уравнений

Уравнение 12. Най­ди­те корни урав­не­ния: \( \displaystyle cos\frac{8\pi x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

\( \displaystyle cost=\frac{\sqrt{3}}{2}\)То мы бы записали вот такой ответ:

\( \displaystyle t=\pm arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n,~n\in Z\)Или (так как \( \displaystyle arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}\))

\( \displaystyle t=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,~n\in Z\)Но теперь в роли \( \displaystyle t\) у нас выступаем вот такое выражение: \( \displaystyle t=\frac{8\pi x}{6}\)

Тогда можно записать:

\( \displaystyle \frac{8\pi x}{6}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\)Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто \( \displaystyle x\), без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при \( \displaystyle x\): для этого домножим наше равенство на \( \displaystyle 6\):

\( \displaystyle \frac{6\cdot 8\pi x}{6}=6\cdot \left( \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n \right)\)\( \displaystyle 8\pi x=\pm \frac{6\pi }{6}+12\pi n\)\( \displaystyle 8\pi x=\pm \pi +12\pi n\)Теперь избавимся от \( \displaystyle \pi \), разделив на него обе части:

\( \displaystyle 8x=\pm 1+12n\)Теперь избавимся от восьмёрки:\( \displaystyle \frac{8x}{8}=\pm \frac{1}{8}+\frac{12n}{8}\)\( \displaystyle x=\pm \frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)\( \displaystyle x=\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)или\( \displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать \( \displaystyle n\).

Inverse properties

Generally, functions and their inverses exhibit the relationship

f(f-1(x)) = x   and   f-1(f(x)) = x

given that x is in the domain of the function. The same is true of cos(x) and arccos(x) within their respective restricted domains:

cos(arccos(x)) = x, for all x in

and

arccos(cos(x)) = x, for all x in

These properties allow us to evaluate the composition of trigonometric functions.

Composition of arccosine and cosine

If x is within the domain, evaluating a composition of arccosine and cosine is relatively simple.

Examples:

1.

2.

If x is not within the domain, we need to determine the reference angle as well as the relevant quadrant. Given arccos(cos()), we cannot evaluate this as we did above because x is not within , so the solution cannot be . To evaluate this, we need to first determine cos() before using arccos:

3.

In the above example, the reference angle is , and cos() is , but since lies in quadrant III, its cosine is negative, and the only angle whose cosine is , that lies within the domain of arccos(x), is .

Composition of other trigonometric functions

We can also make compositions using all the other trigonometric functions: sine, tangent, cosecant, secant, and cotangent.

Example:

Find sin(arccos()).

Since is not one of the ratios for the special angles, we can use a right triangle to find the value of this composition. Given arccos() = θ, we can find that cos(θ) = . The right triangle below shows θ and the ratio of its adjacent side to the triangle’s hypotenuse.

To find sine, we need to find the opposite side since sin(θ)=. Let a be the length of the opposite side. Using the Pythagorean theorem,

a2 + 122 = 132

a2 + 144 = 169

a2 = 25

a = 5

and

sin(arccos()) = sin(θ) =

The same process can be used with a variable expression.

Example:

Find tan(arccos(4x)).

Given arccos(4x) = θ, we can find that cos(θ)= and construct the following right triangle:

To find tangent, we need to find the opposite side, since tan(θ)=. Let b be the length of the opposite side. Using the Pythagorean theorem,

(4x)2 + b2 = 12

16×2 + b2 = 1

b2 = 1 — 16×2

b =

and

tan(arccos(4x)) = tan(θ) = , where - < x <

Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, декартово произведение

Операция объединения множеств

Объединением множеств и
называется множество, обозначаемое ,
состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат или или ,
то есть

.

Например, если ,
, ,
то ,
,
.

Операции над множествами удобно иллюстрировать фигурами, называемыми
диаграммами Венна (другое название — круги Эйлера). На рисунке ниже слева большим и малым
кругами обозначены соответственно множества А и В, а справа — результат объединения
этих множеств (заштрихованная фигура).

На основе теории множеств создана концепция реляционных баз данных, а на основе
операций над множествами — реляционная алгебра и её операции — используемые
в языке запросов к базам данных SQL. Операция объединения есть в реляционной алгебре.

Операция пересечения множеств

Пересечением множеств и
называется множество, обозначаемое и
состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств и ,
то есть

.

Например, если ,
, ,
то ,
,
.

На рисунке ниже — результат пересечения множеств А и В —
заштрихованная фигура.

В одном из материалов сайта показано, как выглядит пересечение множеств
решений систем линейных неравенств.

Операция пересечения есть в реляционной алгебре,
используемой для манипулирования данными в языках запросов к базам данных, например, SQL.

Разность множеств

Разностью множеств и
называется множество, обозначаемое и
состоящее из всех тех и только тех элементов множества , которые не являются элементами множества ,
то есть

.

Например, если ,
, ,
то ,
,
,
,
.

На рисунке ниже слева — результат разности множеств А и В, а справа —
результат разности множеств В и А.

Операция разности есть в реляционной алгебре,
используемой для манипулирования данными в языках запросов к базам данных, например, SQL.

Пример 5. Выполните следующие операции над множествами:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые,
апельсины купили 29 покупателей, лимоны — 30 покупателей, мандарины — 9, только мандарины — 1,
апельсины и лимоны — 10, лимоны и мандарины — 4, все три вида фруктов — 3 покупателя. Сколько покупателей
не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?

Операция декартова произведения множеств

Для определения ещё одной важной операции над множествами — декартова
произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n. Длиной набора называется число n его компонент

Набор, составленный
из элементов ,
взятых именно в этом порядке, обозначается. При этом iя ()
компонента набора есть

Длиной набора называется число n его компонент. Набор, составленный
из элементов ,
взятых именно в этом порядке, обозначается .
При этом iя ()
компонента набора есть .

Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно,
но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово
произведение множеств.

Декартовым (прямым) произведением множеств
называется множество, обозначаемое
и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n, i-я компонента
которых принадлежит .

Например, если ,
,
,

то

,

,

А теперь обещанная картинка

На картинке точками (узлами) дерева обозначены элементы множеств
,
,
.
Для получения каждой упорядоченной тройки (так как перемножаем три множества) нужно пройти
каждый полный маршрут от корня дерева (start) к конечным точкам и записать все пройденные точки.
Таким образом, получаем декартово произведение множеств:

Операция декартова произведения есть в реляционной алгебре,
используемой для манипулирования данными в языках запросов к базам данных, например, SQL.

Решение задач со степенными функциями

Давайте попробуем посчитать такое выражение:

\

Как видим, данная формула для ${{x}^{-1}}$ не работает. Возникает вопрос: а что тогда работает? Неужели мы не можем посчитать ${{x}^{-1}}$? Конечно, можем. Только давайте для начала вспомним такое:

\

Теперь подумаем: производная какой функции равна $\frac{1}{x}$. Очевидно, что любой ученик, который хоть немного занимался этой темой, вспомнит, что этому выражению равна производная натурального логарифма:

\

Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:

\

Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.

Итак, что нам известно на данный момент:

• Для степенной функции — ${{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}$
• Для константы — $=const\to \cdot x$
• Частный случай степенной функции — $\frac{1}{x}\to \ln x$

Идем далее. Что нам еще может потребоваться? Конечно же, правило вычисления первообразных от суммы и от разности. Запишем так:

\

\

\

\

\

А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.

Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.

Нахождение значения аргумента

Например, найдем все значения аргумента, при которых значение функции

На единичной окружности найдем точки  ординаты которых равны Этим точкам соответствуют углы   и и таких углов бесконечно много. Однако, если рассмотреть промежуток  то на нем функция  возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа  из промежутка  существует единственное число  такое что  Так на промежутке существует единственное значение аргумента, при котором значение функции  равно  — это угол равный ( рис.93) 

Определение Арксинуса

Определение:

Арксинусом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  синус которого равен  (рис. 94).

Этот угол обозначают  Так,  поскольку  и 

Вычислите:

Решение:

   так как 

Пример №2

Найдите значение выражения:

Решение:

  так как

 (рис. 95, б).

Заметим, что  ( рис.95)  Так как углы, соответствующие точкам  и  где  с ординатами  и  отличаются только знаком, то  для любого числа  (рис. 96).

Пусть  тогда 
Так как точки имеют противоположные ординаты, то 
Поскольку  то по определению арксинуса  Так как  то  для любого числа 
Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Так как 

Отметим, что областью определения выражения  является отрезок  Если  то выражение  не имеет смысла.

Например, выражения   не имеют смысла, так как 
Выражение не имеет смысла, так как 
Из определения арксинуса числа следует, что  если 

Например, 

Рассмотрим промежуток  на котором функция  возрастает и принимает все значения от  до 1. Для любого числа  из промежутка  существует единственное число  такое, что 

Определение Арккосинуса

Определение:

Арккосинусом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  косинус которого равен  (рис. 97).

Этот угол обозначают 

Например:  поскольку  и 
 

Вычислите:

Решение:

 

Пример №4

Найдите значение выражения:

Решение:

  так как  ( рис. 98.а)

 ( рис.98.б)

Заметим, что  ( см.98) 

Пусть  Так как точки  имеют противоположные абсциссы, то  Поскольку  то по определению арккосинуса  Так как  для любого числа  (рис. 99).

Воспользуемся полученным равенством и найдем значение выражения

Так как 
Областью определения выражения   является отрезок  Если  то выражение  не имеет смысла.

Так, выражения  не имеют смысла, поскольку

Выражение не имеет смысла, так как 
Из определения арккосинуса числа следует, что  если  и 

Например, 

На промежутке монотонности  функции  существует единственный угол, тангенс которого равен некоторому данному числу 

Определение Арктангенса

Определение:

Арктангенсом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  тангенс которого равен  (рис. 100).

Этот угол обозначают  Так,  поскольку  и 

Вычислите:

Решение:

  так как  и 

 и 

Для любого числа  верно равенство  (рис. 101).

Пример №6

Найдите значение выражения

Решение:

Так как 
Из определения арктангенса числа следует, что  при 

Например, 

На промежутке монотонности  функции  существует единственный угол, котангенс которого равен некоторому данному числу 

Определение Арккотангенса

Определение:

Арккотангенсом числа  называется угол, принадлежащий промежутку  котангенс которого равен  (рис. 102).

Этот угол обозначают  Например,  поскольку

Заказать решение задач по высшей математике

Вычислите:

Решение:

так как

Для любого числа  верно равенство  (рис. 103).

Пример №8

Найдите значение выражения 

Решение:

Так как 

Из определения арккотангенса числа следует, что  если  и 

Например, 

Примеры заданий и их решения

Верно ли, что:

Решение:

а) Верно, так как 

б)    верно, так как 

в)    неверно, так как 

г)    неверно, так как 

Вычислите:

Решение:

 

Найдите значение выражения:

Решение:

 

Оцените значение выражения 

Решение:

По определению арктангенса числа 

Воспользуемся свойствами числовых неравенств и получим: 

Найдите область определения выражения:

Решение:

 а) По определению арксинуса числа  это угол, синус которого равен 

б)    По определению арккосинуса числа  это угол, косинус которого равен 

Найдите значение выражения:

Решение:

 

Вычислите 

Решение:

 

Найдите значение выражения 

Решение:

Воспользуемся формулой  при  Поскольку  то эту формулу сразу применить нельзя.

Так как 

Найдите значение выражения 

Решение:

Так как  при  при 

Рекомендую подробно изучить предметы:

Математика Алгебра Линейная алгебра Векторная алгебра Высшая математика Дискретная математика Математический анализ Математическая логика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Тригонометрические уравнения
• Тригонометрические неравенства
• Формулы приведения
• Синус, косинус, тангенс суммы и разности
• Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
• Функция y=sin x и её свойства и график
• Функция y=cos x и её свойства и график
• Функции y=tg x и y=ctg x — их свойства, графики

Разница между math.atan() и math.atan2()

И math.atan(), и math.atan2() — это функции, возвращающие обратный тангенс, но они отличаются количеством аргументов и диапазоном возвращаемых значений.

math.atan(x) имеет один аргумент и возвращает arctan(x) в радианах. Возвращаемое значение будет находиться между -pi \ 2 и pi \ 2 (от -90 до 90 градусов).

В приведенном выше примере math.inf представляет бесконечность.

math.atan2(y, x) имеет два аргумента и возвращает arctan(y \ x) в радианах. Этот угол — угол (склонение), который вектор от начала координат (x, y) составляет с положительным направлением оси x в полярной координатной плоскости, а возвращаемое значение находится в диапазоне от -pi до pi (от -180 до 180 градусов).

Поскольку углы во втором и третьем квадрантах также могут быть получены правильно, math.atan2() более подходит, чем math.atan() при рассмотрении полярной координатной плоскости.

Обратите внимание, что порядок аргументов — y, x, а не x, y. Как и в приведенном выше примере, отрицательное направление оси x (y равен нулю и x отрицателен) равно pi (180 градусов), но когда y равен отрицательному нулю, это -pi (-180 градусов)

Будьте осторожны, если вы хотите строго обращаться со знаком

Как и в приведенном выше примере, отрицательное направление оси x (y равен нулю и x отрицателен) равно pi (180 градусов), но когда y равен отрицательному нулю, это -pi (-180 градусов). Будьте осторожны, если вы хотите строго обращаться со знаком.

Отрицательные нули являются результатом следующих операций

Целые числа не рассматриваются как отрицательные нули.

Даже если x и y равны нулю, результат зависит от знака.

Есть и другие примеры, где знак результата меняется в зависимости от отрицательных нулей, например, math.atan2(), а также math.sin(), math.asin(), math.tan() и math.atan().

Обратите внимание, что приведенные примеры — это результаты выполнения программы в CPython. Обратите внимание, что другие реализации или среды могут по-другому обрабатывать отрицательные нули

Статистические функции для обработки данных

Некоторые из основных статистических функций включают в себя:

• Среднее (AVERAGE): эта функция вычисляет среднее значение набора чисел. Она полезна для определения типичного значения в наборе данных.
• Медиана (MEDIAN): медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных. Эта функция позволяет нам определить центральную точку данных.
• Минимум (MIN) и максимум (MAX): эти функции позволяют нам найти наименьшее и наибольшее значение в наборе данных соответственно.
• Стандартное отклонение (STDEV): стандартное отклонение — это мера разброса данных относительно их среднего значения. Чем больше стандартное отклонение, тем более разбросаны данные.
• Ковариация (COVAR): ковариация — это мера взаимосвязи двух наборов данных. Она позволяет нам определить, насколько два набора данных меняются вместе.
• Корреляция (CORREL): корреляция — это статистическая мера, которая показывает, насколько две переменные линейно связаны. Она позволяет нам определить, есть ли связь между двумя наборами данных.

Это только некоторые из множества статистических функций, доступных для обработки данных. Они могут быть использованы в различных областях, включая финансы, экономику, науку и многое другое.

Использование статистических функций позволяет нам получить ценную информацию и сделать выводы на основе имеющихся данных. Это помогает нам принимать более обоснованные решения и проводить более точные аналитические исследования.

Раздел 1: Понятие математической функции

Математическая функция — это правило, которое сопоставляет каждому элементу из одного множества определенное значение из другого множества. Функция обычно обозначается символом f и записывается в виде f(x), где x — это аргумент функции.

В математике функции играют важную роль, так как они позволяют описывать зависимость одной величины от другой. Функции широко используются в различных научных и технических областях, таких как физика, экономика, статистика и других.

Основные элементы функции:

• Область определения: это множество значений, которые может принимать аргумент функции. Обычно область определения обозначается символом Df.
• Область значений: это множество значений, которые может принимать функция. Обычно область значений обозначается символом Rf.
• График функции: это геометрическое представление функции на координатной плоскости. Он состоит из точек с координатами (x, f(x)), где x — аргумент функции, а f(x) — значение функции при данном аргументе.

В зависимости от свойств значения функции, ее можно классифицировать на различные типы. Например:

1. Линейная функция: такая функция задается выражением f(x) = kx + b, где k и b — константы. График линейной функции представляет собой прямую на координатной плоскости.
2. Квадратичная функция: такая функция задается выражением f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c — коэффициенты. График квадратичной функции представляет собой параболу на координатной плоскости.
3. Тригонометрическая функция: такая функция использует тригонометрические функции, такие как синус, косинус или тангенс. Они широко используются в физике и геометрии.
4. Экспоненциальная функция: такая функция задается выражением f(x) = a^x, где a — основание экспоненты. График экспоненциальной функции представляет собой плавно возрастающую или убывающую кривую.

Знание и понимание математических функций является важным фундаментом для дальнейшего изучения математики и ее применения в реальной жизни. Математический анализ функций позволяет решать разнообразные задачи и моделировать различные процессы.

Формула из области космологии

Формулы, используемые в различных областях науки, часто являются сложными и требующими глубоких знаний в соответствующей области. В математике, например, есть множество сложных формул, которые служат основой для решения различных задач. В химии формулы используются для описания химических реакций и структуры веществ. В физике формулы помогают описать физические явления и законы природы. В биологии формулы применяются для описания генетических процессов и молекулярных взаимодействий.

Однако, среди всех этих научных областей можно выделить космологию, в которой встречается одна из самых сложных формул в мире. Эта формула изучает фундаментальные свойства вселенной, такие как расширение и эволюция. Сложность формулы связана с многообразием физических величин и взаимодействий, которые она учитывает.

Формула из области космологии включает в себя различные компоненты, такие как уравнения Эйнштейна, уравнение состояния темной энергии, уравнение Фридмана и другие. Все эти компоненты связаны друг с другом и взаимодействуют, образуя сложную систему уравнений и отношений.

Параметры Вселенной

В мире физики и математики самая сложная формула связана с изучением параметров Вселенной. Эти параметры включают в себя такие величины, как гравитационная постоянная, скорость света, постоянная Планка и другие.

Формула, описывающая эти параметры, составляет сложную систему уравнений, связанных между собой. Она является основой для проведения различных исследований в физике космоса, астрономии и космологии.

В химии также есть сложные формулы, но они описывают взаимодействие атомов и молекул в химических реакциях. Эти формулы позволяют предсказывать результаты реакций и разрабатывать новые вещества.

Таким образом, в мире науки существуют сложные формулы как в физике, так и в химии и математике. Они позволяют ученым лучше понять и описать различные явления и процессы, происходящие в нашей Вселенной.

Черные дыры

Черные дыры – это объекты, которые возникают в результате гравитационного коллапса массивных звезд. Они представляют собой области пространства, где гравитационное притяжение настолько сильно, что ни что, даже свет, не может покинуть эту область. Научное исследование черных дыр включает в себя различные области знания, такие как физика, астрономия, математика и даже философия.

В физике черные дыры описываются математическими формулами, которые вычисляют их массу, радиус и другие параметры. Одной из наиболее сложных формул в физике, связанных с черными дырами, является формула Шварцшильда. Эта формула описывает радиус событийного горизонта черной дыры, то есть границы, за которыми ничто не может покинуть область притяжения.

Биология тоже имеет отношение к черным дырам, хотя изначально может показаться, что эти две области науки не связаны. Однако, в рамках теории эволюции, черные дыры могут сыграть роль в формировании звездных систем, в которых возникают условия для появления жизни. Возможно, существуют черные дыры, в окрестности которых появляются планеты, подобные Земле, и даже разумная жизнь.

Самая сложная и известная формула, связанная с черными дырами, может быть найдена в области химии. Формула описывает процесс образования черной дыры путем сжигания звездного топлива, такого как водород и гелий. Этот процесс называется ядерным синтезом и требует высоких давлений и температур, что делает его сложным для исследования на Земле.

Общая информация

У каждой функции y = f (x) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество (этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.

Существует несколько методов решения задач такого типа. К ним относятся следующие способы: автоматизированный и ручной. Решение первым подразумевает использование специальных программных оболочек и web-приложений, позволяющих найти область значения функции. Онлайн-калькулятор с решением применяется для тех, кто выполняет большое количество вычислений или проверку вычислений.

В различных дисциплинах необходимо исследовать поведение функций. Например, при проектировании какого-либо программного продукта. Программисты занимаются поиском «багов», при которых происходит некорректная работа приложения. Если заданы недопустимые параметры независимой переменной, то произойдет ошибка. Это называется исключением, и его всегда следует обрабатывать. При проектировании различных устройств нужно также уметь находить область значения функции.

Основные понятия

Руководствуясь некоторыми данными, можно сделать вывод: областью значений некоторой функции называются все ее допустимые значения. Обозначается она буквой «E», т. е. E (f) или E (y). Когда y = f (x) является сложной (w = f (x, y, z)), тогда можно ее обозначить «E (w)».

Независимая переменная, принимающая некоторые значения, называется аргументом. Для конкретного случая существует определенный алгоритм. Можно сразу определить E (f), но в некоторых ситуациях нужно выполнить некоторые преобразования.

Например, нужно найти область значений квадратичной функции y = 3x 2 — 2x — 1. Следует записать уравнение 3x 2 — 2x — 1 = 0. Ордината вычисляется таким образом: y0 = -D / 4a = — / 4a = — / (4 * 3) = -16 / 12 = -4/3. Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, E (y) = (-4/3;+бесконечность).

Специалисты-математики утверждают, что важным аспектом является определение типа функции. Следовательно, следует разобраться в их классификации. Для этого необходимо знать их графики и названия.

Типы функций

Перед тем, как найти все допустимые значения, нужно знать область значения некоторых элементарных функций. Для каждой из них существует свой промежуток:

1. (-бесконечность;+бесконечность): y =kx + b, y = x^(2n+1), y = x^(1/(2n+1)), y = log (x) с основанием а, y = tg (x) и y = ctg (x).
2. [0;+бесконечность): y = x^(2n), y = x^(1/(2n)) и y = a^x.
3. (-бесконечность;0] U [0;+бесконечность) только для y = k / x (гипербола).
4. : y = sin (x) и y = cos (x).
5. : y = arccos (x) и arcsin (x).
6. [-Pi/2;Pi/2]: y = arctg (x) и arcsin (x).

Если функция является многочленом четной степени, то для нее существует интервал [m;+бесконечность). Значение «m» — наименьшее значение многочлена. На промежутке (-бесконечность;n) число n — наибольшее его значение.

Довольно сложной задачей считается нахождение области значений тригонометрических функций. Примером одной из них считается y = cos (2x) + 2cos (x). Кроме того, при нахождении E (f) необходимо руководствоваться не только табличными значениями. Этих данных мало, поскольку нужно также знать о свойствах некоторых функций и способы нахождения E.

Важные свойства

Для качественного исследования нужно знать свойства простых функций: монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность или нечетность, периодичность, область определения и значения. Среди свойств можно выделить несколько основных:

1. В случае, когда функция f (x) является непрерывной, и наблюдается ее возрастание или убывание на отрезке , то множество значений — интервал .
2. Если y = f (x) обладает непрерывностью на промежутке , и существует некоторое минимальное m и максимальное М ее значения, то множеством ее значений является интервал .
3. При непрерывности и дифференцируемости функции на промежутке , она имеет минимальное и максимальное значения на данном промежутке.

Последние два свойства применяются для непрерывных функций. Простое решение позволяет получить первое свойство

При этом очень важно доказать ее монотонность. Задача существенно упрощается, когда удается доказать четность или нечетность функции, а также ее периодичность

По необходимости следует проверять и использовать некоторые ее свойства: непрерывность (при разрыве нужно определить его точку или интервал), монотонность, дифференцируемость, периодичность, четность или нечетность и т. д.

Использование математических функций в программе

В категорию математических функций входит более 60 различных операторов, которые позволяют выполнять различные вычисления.

Вставить функцию в свободную ячейку таблицы можно по-разному:

Результатом любого из вышеописанных способов будет открытие окна вставки функции. Здесь мы выбираем категорию “Математические”.

Теперь, когда категория выбрана, в поле ниже отмечаем требуемую функцию и щелкаем OK.

После этого откроется окно с аргументами для заполнения.

Примечание: Если мы, находясь во вкладке “Формулы”, в группе инструментов “Библиотека функций” нажмем по значку математических функций, сразу откроется список операторов, которые мы можем выбрать, минуя окно вставки функции.

Стоит учитывать, что в предлагаемом перечне присутствуют не все операторы, но самые необходимые здесь все же есть, и в большинстве случаев их достаточно.

Теперь перейдем к детальному рассмотрению самых популярных функций.

Пожалуй, это самая популярная функция, которая используется в Эксель. С помощью нее выполняется суммирование числовых данных. Формула функции:

В аргументах можно указать как конкретные числа, так и ссылки на ячейки, содержащие числовые значения. Причем указать координаты можно вручную (с помощью клавиш клавиатуры) или методом клика/выделения непосредственно в самой таблице.

Для перехода к заполнению следующего аргумента достаточно кликнуть по полю напротив него или нажать клавишу Tab.

СУММЕСЛИ

Данная функция позволяет считать сумму чисел с заданным условиями, с помощью которых будет выполняться отбор значений, учитывающихся в суммировании. Формула выглядит следующим образом:

В аргументах функции указывается диапазон ячеек (вручную или путем выделения в таблице), значения которых нужно просуммировать. В качестве критерия можно задать следующие условия (в кавычках):

Аргумент “Диапазон_сумирования” заполнять не обязательно.

ПРОИЗВЕД

С помощью данного оператора выполняется умножение чисел. Синтаксис выглядит следующим образом:

В аргументах функции, как и в СУММ, можно указывать как конкретные числа, так и адреса ячеек (диапазоны ячеек), которые содержат числовые значения.

ЧАСТНОЕ

Чаще всего для деления используется формула со знаком “/” между делимым и делителем: =Число1/Число2 .

Однако в программе также есть отдельная функция для выполнения деления, синтаксис которой представлен ниже:

Заполнить нужно два аргумента: Числитель (Делимое) и Знаменатель (Делитель).

СТЕПЕНЬ

Оператор позволяет возвести число в указанную степень. Формула выглядит так:

В аргументах функции указывается само число, а также, степень, в которую нужно его возвести.

КОРЕНЬ

С помощью данного оператора можно извлечь квадратный корень из числа. Синтаксис выглядит следующим образом:

Заполнить требуется только один аргумент – “Число”.

ОКРУГЛ

Функция применяется для выполнения еще одного распространенного математического действия – округления чисел (по общематематическим правилам, т.е., к ближайшему по модулю значению). Синтаксис функции представлен ниже:

В аргументе “Число” указывается значение, которое требуется округлить. В числе разрядов, соответственно, пишем количество цифр, которые хотим оставить после запятой.

Также, в Excel доступны операторы ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ, которые, как следует из их названий, используются для округления до ближайшего верхнего и нижнего числа, соответственно (по модулю).

Позволяет получить модуль числа. Формула функции представлена ниже:

Заполнить нужно всего один аргумент – “Число”, модуль которого требуется найти.

С помощью этого оператора определяется логарифм числа по заданному основанию. Синтаксис функции представлен в виде:

Необходимо заполнить два аргумента: Число и Основание логарифма (если его не указать, программа примет значение по умолчанию, равное 10).

Также для десятичного логарифма предусмотрена отдельная функция – LOG10.

ОСТАТОК

Применяется для получения остатка от деления чисел. Формула оператора выглядит следующим образом:

Для того, чтобы получить результат, требуется заполнить значения двух аргументов: Число и Делитель.