Отличия между эллипсом и овалом

Как рисовать правильные овалы

«Ни каких рыбок и сосисок! Надо рисовать правильные овалы! »

Именно так говорил мой преподаватель — Сергей Иванович Полуйчик, когда смотрел наши первые натюрморты. Благодаря этой фразе, я сразу запомнила, как должны выглядеть правильные овалы при построении цилиндрических форм.

Итак, знакомимся с рыбками, сосисками, и правильными овалами.

РЫБКА
— неправильный овал с острыми углами.

Овал — это круг, который лежит на плоскости, поэтому с какой бы стороны мы не смотрели, у него не может быть острых углов.

СОСИСКА
— неправильно нарисованный овал с параллельными сторонами.

Еще раз чтобы запомнилось: овал — это круг на плоскости, у круга нет параллельных сторон.

ПРАВИЛЬНЫЙ ОВАЛ
, без острых углов и параллельных сторон.

Соблюдая правила перспективы, дальняя часть овала рисуется меньше (красная линия), ближняя к зрителю — больше (синяя линия на рисунке).

Практически все цилиндрические и конусовидные формы (кувшины, крынки, вазы, бутыли, кружки и т.д.) рисуются по одинаковой схеме. Вот, на примере этого кувшинчика и разберем пошагово эту схему рисования цилиндрических тел.

Всё построение делается легкими, еле заметными линиями, чтобы не пришлось стирать резинкой, так как при стирании портится верхний слой бумаги. И краска в живописи, и штрихи в рисунке ложатся на бумагу после стирания неровно.

Определяем место предмета на листе. Проводим центральную осевую линию для построения кувшина.

Определяем место осевых линий для построения овалов. То есть — с помощью метода визирования, уточняем пропорции и размеры между центрами овалов у кувшина. Проводим эти линии.

С помощью визирования определяем размер овалов. Откладываем этот размер с помощью карандаша, отмечаем одинаковые отрезки от точки пересечения центровых линий.

Откладываем точки ширины овалов.

Отмечая эти размеры не забываем о правилах перспективы: та сторона овала, что дальше от нас — будет чуточку меньше, значит та, что ближе к нам — больше.

Точно также помним, чем ниже уровня глаз находится овал, тем сильнее ему хочется стать кругом.

Наконец-то прорисовываем овалы нашего цилиндрического предмета.

Соединяем крайние точки овалов и наш кувшин практически готов.

Осталось дорисовать ручку и носик. При рисовании ручки и носика, стараемся помнить, что обычно они находятся напротив друг друга, то есть на одной линии.

КАК РИСОВАТЬ ОВАЛЫ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ УРОВНЯ ГЛАЗ ХУДОЖНИКА

Так будет выглядеть построение кувшина, если мы поставим его повыше, чем тот, построение которого мы разбирали.

Так будет выглядеть построение кувшина, если верхняя кромка кувшина будет находиться на уровне глаз, поэтому изображаем в виде линии. Но дно-то кувшина, ниже уровня глаз, поэтому, чтобы увидеть линию дна — строим для дна овал. рисуем кувшин выше уровня глаз

Так будет выглядеть построение кувшина, если его середина будет совпадать с линией глаз. Верхняя часть кувшина будет выше линии глаз — рисуем овал, у которого ближе к нам будет верхняя линия. Дно кувшина получается немного ниже уровня глаз, потому строим обычный овал. Но! Если кувшин (ваза) стоит далеко от зрителя (художника), то и верхний край и линия дна будут рисоваться простой прямой линией, как будто находятся на уровне глаз. Начинающие художники очень часто допускают ошибки именно при построении овалов, от чего портится впечатление от всей картины в целом.

www.mogut-vse.ru

10.8. Эллипс и его свойства window.top.document.title = «10.8. Эллипс и его свойства»;

В § 7 было получено уравнение фигуры, которую мы назвали эллипсом:

В соответствии с формулами преобразования координат выразим старые координаты через новые по формулам:

канонической

k < 1a > b > 0x’ (y’)x (y)

каноническим уравнением эллипса

Рассмотрим свойства эллипса.

Свойство 10.1.

Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Точки A, B, C и D называются вершинами эллипса. Отрезок AC называется большой осью эллипса, отрезок BD – малой осью. Числа a и b называют полуосями эллипса. Точки и где называются фокусами эллипса.

Пусть M (x; y) – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки M до фокусов эллипса.

(x; y)M

Величину называют эксцентриситетом эллипса. Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку то отсюда следует, что a – εx > 0. Поэтому

Свойство 10.2.

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Свойство 10.3.

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Свойство 10.4.
Эллипс имеет центр симметрии.

Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Свойство 10.5.
Эллипс может быть получен сжатием окружности.

В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как

При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность.

В § 7 мы определили эллипс как множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки A и данной прямой l есть величина постоянная и равная числу k.

Рассмотрим, какие координаты имеет точка A и какое уравнение – прямая l в канонической системе координат. Для начала отметим, что в силу введенных ранее обозначений

Координаты точки при переходе в новую систему будут равны:

Уравнение прямой в исходной системе координат имело вид После замены системы координат получим новое уравнение прямой l

ε < 1

Прямая x = –d называется директрисой, соответствующей фокусу F₁(-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x = d, которая является директрисой, соответствующей фокусу F₂(c; 0).

С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.

Рисунок 10.8.1

Что такое эллипс?

Эллипс – это геометрическая фигура, которая обладает особыми свойствами и отличается от овала. В геометрии эллипс является кривой замкнутой линией, которая получается при пересечении плоскости и конусом, при условии, что плоскость не параллельна основанию конуса.

Основной характеристикой эллипса является то, что у него есть два фокуса. Это точки, которые симметрично расположены относительно центра эллипса.

Одно из особенных свойств эллипса состоит в том, что сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фокусов всегда будет равна одной и той же величине. Это свойство называется свойством равности фокусов.

Также важным свойством эллипса является то, что у него есть две равные полуоси. Полуоси эллипса являются отрезками, которые соединяют его центр с концами максимального и минимального расстояний до границы фигуры.

В отличие от овала, эллипс является более симметричной и упорядоченной фигурой. Овал же может иметь неравные полуоси и более несимметричную форму.

Описание эллипса

Эллипс — это геометрическая фигура, которая отличается от овала своими свойствами и пропорциями. Разница между овалом и эллипсом заключается в том, что у эллипса оси, которые проходят через его центр и пересекаются в одной точке, являются равными.

Особенностью эллипса является то, что он имеет два фокуса. Фокусы — это две точки, которые находятся на одной оси с центром эллипса, но с обратных сторон. Сумма расстояний от любой точки на эллипсе до каждого из фокусов всегда будет одинакова.

Эллипс может быть описан с помощью математического уравнения, которое определяет его форму и размеры. Длина осей эллипса влияет на его внешний вид. Если ось, проходящая через фокусы, является более длинной, эллипс будет более вытянутым и узким. Если ось, перпендикулярная оси фокусов, является более длинной, эллипс будет более широким.

Эллипс имеет множество приложений в различных областях, включая математику, архитектуру, живопись и дизайн. Его симметричная форма и пропорции делают его эстетически приятным для глаза и позволяют его использование в качестве украшения или элемента дизайна.

В отличие от овала, эллипс имеет более точное и строго определенное определение в геометрии. Его свойства и особенности делают его интересным объектом исследования и изучения для математиков и любителей геометрии.

Основные характеристики эллипса

Эллипс является геометрической фигурой, близкой к овалу, но имеющей свои особенности. В отличие от овала, эллипс имеет строго определенные пропорции и характеристики.

Одной из главных характеристик эллипса являются его фокусы. Эллипс определяется двумя фокусами, которые расположены на его оси. Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух фокусов всегда остается постоянной и равной длине большой оси.

Эллипс имеет также оси – большую и малую. Большая ось проходит через две вершины эллипса, а малая ось – через две другие вершины. Длина большой оси равна удвоенному расстоянию между фокусами, а длина малой оси определяется отношением этих расстояний и удовлетворяет геометрическому свойству эллипса.

Сама форма эллипса также отличается от овала. В отличие от овала, эллипс не имеет кривизны в углах и имеет более симметричную и упорядоченную форму. Однако, пропорции эллипса могут различаться, что создает различные вариации этой геометрической формы.

Основные элементы и свойства фигуры

Рассмотрим элементы эллипса. Взгляните на чертеж:

F1 и F2 выступают в роли фокусов эллипса. Осями данной замкнутой кривой будут A1A2 =2a (как большая ось, проходящая сквозь фокусы замкнутой кривой), а B1B2=2b (как малая ось, перпендикулярная второй, большой оси фигуры, проходит через ее центр). Здесь «a» является большой полуосью, «b» является малой полуосью, «O» является центром (то есть точкой пересечения малой оси и большой оси).

Вершинами эллипса будут точки A1, и A2, и B1, и B2. Это точки пересечения большой осью и малой осью эллипса. Диаметр замкнутой кривой — отрезок, соединяющий две точки эллипса, а также проходящий через центр фигуры.

Эксцентриситет замкнутой кривой, который обозначается буквой «e», показывает степень «сплющенности» (то есть отклонения от окружности). Он определяется соотношением фокального расстояние (буква «c») к большой полуоси «a». В случае эллипса эксцентриситет будет таким: 0<e<1, для круга e=0, для параболы e=1, а для гиперболы: e>1.

Коэффициент сжатия или же эллиптичность, обозначаемая буквой «k», является отношением длины малой полуоси к большой полуоси.

Директриса эллипса — пара прямых, которые перпендикулярны фокальной оси замкнутой прямой, пересекающей расстояние a*e от центра замкнутой прямой. Расстояние до директрисы от фокуса будет равно p*e.

Рассмотрим также основные свойства эллипса:

Угол к эллипсу между касательной и фокальным радиусом будет равен величине угла между фокальным радиусом и касательной.
Равенство касательной к замкнутой кривой в точке
В случае, если замкнутая прямая пересекается парой параллельных прямых, то отрезок, соединяющий середины отрезков, образованных при пересечении эллипса и прямых, всегда будет пересекать центр замкнутой кривой.

В чем различие?

Официальные определения каждой из фигур звучат достаточно сложно и непонятно.

Но, если откинуть заумные формулы и сложные определения — все намного проще.

Овал можно «растянуть» как угодно. Это может быть практически круг, либо узкая и длинная замкнутая кривая — главное, чтобы ее форма удовлетворяла определению.

Эллипс — это «правильный» овал. Его пропорции строго регламентированы. Длины осей должны соответствовать уравнению: a2=b2+c2.

Где а — это длинная полуось, b — короткая, а с — фокальное расстояние (от центра до фокуса).

Всем известный круг — это частный вариант эллипса. В этом случае с=0 (т.к. фокус у него один). Полуоси (радиусы) тоже равны.

Сходства и различия между фигурами

Тут очень важна симметричность

Симметрия – это фундаментальное понятие в математике и науке, которое относится к свойству иметь последовательную схему или структуру, которая остается неизменной при определенных преобразованиях. Это понятие можно наблюдать в различных областях, таких как искусство, дизайн и геометрия, где оно играет важную роль в создании эстетически приятных и хорошо сбалансированных композиций.

В искусстве и дизайне симметрия используется для создания гармонии и баланса между различными элементами произведения. Используя симметричные конструкции, художники и дизайнеры могут создавать узоры и композиции, которые кажутся организованными и визуально привлекательными. Это может варьироваться от простой двусторонней симметрии в логотипах и типографике до более сложной радиальной симметрии в мандалах и других декоративных мотивах.

В геометрии симметрия играет важную роль в понимании свойств фигур и их отношений друг с другом. Симметрию можно использовать для классификации различных типов геометрических фигур и определения их уникальных характеристик. Например, правильные многоугольники обладают вращательной симметрией, потому что их можно поворачивать на определенные углы, и они все равно будут выглядеть одинаково.

Симметрия – это важная концепция, которая помогает понять и оценить красоту и порядок в окружающем нас мире.

Овал и эллипс – это две фигуры, которые имеют общие черты, но также и явные различия. Обе фигуры вытянутые и асимметричные, без прямых линий и углов. Кроме того, обе они имеют изогнутый периметр, который можно использовать для создания эстетически привлекательных конструкций и узоров.

Однако между овалом и эллипсом есть различия. Овал – это тип фигуры, похожий на уплощенный круг. Он имеет два разных радиуса, причем один радиус больше другого. Это приводит к неравномерной кривизне и придает овалу характерную асимметрию. Термин «овал» часто используется как взаимозаменяемый с термином «эллипс», но, строго говоря, эти две формы не являются одним и тем же.

С другой стороны, эллипс – это абсолютно симметричная фигура, определяемая двумя осями, которые пересекаются в его центре. Эта фигура образуется путем проведения плоскости и рассечения ее через конус под определенным углом. В результате получается гладкая кривая с постоянной шириной, без углов и краев. В отличие от овала, он имеет два равных радиуса, в результате чего получается идеально симметричная форма. В итоге, хотя обе формы похожи своей вытянутостью и кривизной, овал асимметричен с двумя разными радиусами, в то время как эллипс идеально симметричен с двумя равными радиусами.

Предварительный просмотр:

Конспект занятия по математике в старшей группе

закрепить понятие «Круг», «Овал».

— ознакомить детей с кругом и овалом; научить находить сходства и отличия;

— закрепить понятие «один» , «много» , «большой» , «маленький» ; упражнять в определении величины предмета способом накладывания;

— формировать пространственные отношения (вверху, внизу) ;

— развивать произвольное внимание, воспитывать организованность. Встаньте дети, встаньте в круг

Встаньте дети, встаньте в круг.

Я твой друг, и ты мой друг,

Вместе за руки возьмемся,

И друг другу улыбнемся.

Воспитатель : Ребята, сегодня к нам пришли гости. Я загадаю вам загадку, а вы попробуете отгадать кто это.

Нет углов у меня

И похож на блюдце я,

На тарелку и на крышку,

На кольцо, на колесо.

Кто же я такой, друзья?

Назовите вы меня!

Он похожий на яйцо Или на твое лицо. Вот такая есть окружность — Очень странная наружность: Круг приплюснутым стал. Получился вдруг….

Воспитатель : Правильно, это круг и овал!

Фигуры запутались, кто из них кто и стали спорить. Давайте поможем им разобраться. Опишите, пожалуйста, эти фигуры. Чем они похожи, и чем отличаются.

Воспитатель : Молодцы, ребята. А теперь давайте поиграем. У меня в мешочке игрушки, попробуйте на ощупь определить на какую фигуру они похожи.

А теперь немного разомнемся.

Будем пальчики считать 1, 2, 3, 4, 5

И фигуры называть

Вот квадрат, а вот кружок

А еще прямоугольник

И не трудно сосчитать

Их по счету ровно пять.

Д/и «Выложи из геометрических фигур»

Воспитатель: Ребята, посмотрите на фигуры на столе. Это круги и овалы разного цвета и размера. Давайте построим из этих фигур то, что вам нравится. Это могут быть животные, дома, транспорт и многое другое.

Молодцы, очень интересно у вас получилось. И это потому, что все предметы вокруг нас похожи на геометрические фигуры.

Посмотрите вокруг очень внимательно. Назовите предметы в нашей группе, которые похожи на круг (часы, тарелки, колеса у машин и др). И на овал (ваза, шарики, шишки и др).

Молодцы, ребята. Вы сегодня очень хорошо поиграли. Ответьте мне, пожалуйста, на несколько вопросов.

— Кто приходил к нам в гости?

— Помогли ли вы запомнить фигурам как их зовут?

-Кого вы хотите пригласить к нам на следующее занятие?

Формулы и интересные факты

Хоть эти две фигуры и встречаются повсеместно, они до конца не изучены. В школьном курсе их проходят довольно поверхностно, не упоминая о возможных трудностях.

Так, казалось бы, простая задача — вычислить периметр — на самом деле невыполнима. Точной формулы не существует. Это связано с тем, что каждая точка имеет свой собственный радиус кривизны.

Школьникам и людям, далеким от точных вычислений, дают приблизительную формулу. Погрешность у такого результата будет велика, но для примитивных целей это допустимо.

В серьезных расчетах используются совсем другие формулы. Но даже они не дают желаемого результата, так как имеют достаточно большие отклонения от реальных значений.

Рамзан ахматович кадыров сообщение
Химия в профессии сварщика сообщение
Сообщение об обнаружении тела 24 летней девушки сразу выделялась из всех
Сообщение мои духовные ценности
Сообщение как вырастить растение из семечка

Эллипс: определение и свойства

Эллипс имеет две оси — большую и малую. Большая ось, также называемая длинной полуосью, проходит через два фокуса и центр эллипса. Малая ось, называемая короткой полуосью, проходит через центр и перпендикулярна большой оси.

Форма эллипса кажется симметричной относительно его центра, и его площадь может быть вычислена по формуле S = π а b, где а и b — длины полуосей.

Периметр эллипса также может быть вычислен с помощью формулы P ≈ 2π √(a² + b²/2), где а и b — длины полуосей.

Один из основных отличий эллипса от овала состоит в том, что все точки эллипса находятся на одинаковом расстоянии от двух фокусов, в то время как в овале эти расстояния могут отличаться.

Эллипс имеет ряд уникальных свойств и присутствует во многих аспектах природы, включая движение планет вокруг Солнца и форму некоторых облаков и камней.

Определение эллипса

У эллипса есть две оси — большая ось (a) и малая ось (b). Большая ось является длиннейшей прямой, проходящей через центр эллипса и соединяющей два противоположных вершины. Малая ось же проходит через центр эллипса, перпендикулярно к большей оси и соединяет два противоположных конца эллипса.

Длина большой оси равна двойному радиусу, так как радиус является половиной большой оси. Формула для определения длины большой оси эллипса — a = 2r.

Длина малой оси также равна двойному радиусу, поскольку радиус является половиной малой оси. Формула для определения длины малой оси эллипса — b = 2r.

Площадь эллипса можно вычислить с помощью формулы: S = π * a * b, где π — это число пи (приближенное значение 3,14159).

Периметр эллипса также может быть вычислен с помощью формулы: P = 2π * sqrt((a^2 + b^2)/2), где sqrt — квадратный корень, и ^ — значит возведение в степень.

Одно из отличий эллипса от овала заключается в том, что эллипс имеет симметричную форму, в то время как овал — неравномерный и несимметричный.

Эллипс является геометрической фигурой, которая встречается в природе, например, в форме орбит планет вокруг Солнца или в форме кометы при ее движении вокруг Солнца.

Математические свойства эллипса

Одной из важных характеристик эллипса является его форма. Форма эллипса может быть размерной или безразмерной. Размерная форма характеризуется показателем эксцентриситета, определяющего степень сжатия или растяжения эллипса. Безразмерная форма характеризуется отношением длины большой оси к длине малой оси, называемым аспектом.

Площадь эллипса вычисляется по формуле S = π * a * b, где a и b — полуоси эллипса. Периметр эллипса вычисляется по формуле P = 4 * а * E(1 — e^2), где Е — числовой эксцентриситет эллипса.

Эллипс имеет две оси — большую (а) и малую (b). Оси эллипса являются симметричными относительно центра. Длина большой оси обозначается как 2a, а длина малой оси — как 2b. Расстояние от центра эллипса до фокуса (f1 и f2) называется фокусным радиусом.

Эллипс имеет следующие математические свойства:

Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов равна длине большой оси.
Произведение расстояний от любой точки эллипса до фокусов равно площади эллипса.
Расстояние от центра эллипса до любой точки на эллипсе равно радиус-вектору этой точки.
Эллипс — кривая второго порядка, которую можно задать уравнением вида (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1, где x и y — координаты точки на эллипсе.

Эти свойства позволяют различать эллипс от других фигур и использовать его в различных областях математики и природных наук.

Рисуем кружку

Шаг 1. Начинаем с общих пропорций предмета. Измеряем, сколько раз ширина кружки (ее верха) умещается в высоте. Можно пока не учитывать ручку, однако надо оставить для нее достаточно места на листе. Намечаем общие габариты. Находим середину предмета по ширине и проводим через нее вертикальную ось. Чтобы нарисовать ее ровно, удобно сделать 2-3 вспомогательные отметки по высоте предмета на том же расстоянии от ближнего края листа, что и первая отметка середины предмета.

Шаг 2. Найдем высоту верхнего эллипса. Для этого измерим, сколько раз она умещается в его ширине (которую мы нашли ранее). Отметим нижнюю границу эллипса от верхнего края кружки. Легкими линиями нарисуем прямоугольник по намеченным крайним точкам.

Шаг 3. Проведем горизонтальную ось и впишем эллипс в прямоугольник. Затем найдем ширину нижней части кружки, сравнив ее с шириной верха. Высоту нижнего эллипса мы найдем, измерив расстояние по вертикали от самой нижней отметки кружки до нижней отметки ее бока (до точки, через которую пройдет горизонтальная ось этого эллипса). Найденное расстояние – это половина искомой высоты. Удвоим его и отложим от самой нижней точки кружки

Здесь важно не запутаться: в данном случае ось надо провести через нижнюю точку бока кружки, а не через низ самой кружки. Иначе пропорции нарушатся

Зная высоту нижнего эллипса, проверим, соблюдается ли принцип их постепенного раскрытия по мере удаления от уровня глаз. Верхний эллипс расположен ближе к уровню наших глаз, чем нижний, поэтому должен быть уже. Найдем, сколько раз высота нижнего овала помещается в его ширине – около четырех раз. Для верхнего овала было соотношение примерно 5 к 1. Таким образом нижний овал шире, то есть раскрыт в большей степени. Принцип соблюдается.

Шаг 4. Рисуем стенки кружки, соединяя боковые вершины верхнего и нижнего эллипсов. Для большей объемности покажем толщину стенки. Нарисуем второй овал внутри верхнего. При этом учитываем, что из-за перспективного искажения толщина стенок выглядит не одинаковой. Передняя и дальняя стенки визуально сужаются сильнее боковых примерно в два раза. Отметим вершины внутреннего овала на некотором расстоянии от вершин первого овала. Делаем этот отступ чуть больше для боковых вершин. Ставим отметки симметрично относительно вертикальной и горизонтальной осей. Нарисуем новый эллипс через эти вершины.

Шаг 5. Найдем расположение ручки и ее общие пропорции, а затем схематично наметим основные отрезки, формирующие ее контур. Их наклоны определяем методом визирования (а где-то — на глаз).

Шаг 6. Уточним контур ручки, сделаем его более плавным. По необходимости подправим очертания кружки. Смягчим немного ластиком линии построения. Выделим более сильным нажимом на карандаш контуры, расположенные ближе к нам. Кружка готова!