Что такое равные фигуры в геометрии

Треугольники

• Сумма углов любого треугольника равна 180° .
• Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон данного треугольника. (неравенство треугольника)
• Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
• Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. (1 признак равенства треугольников)
• Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (2 признак равенства треугольников)
• Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (3 признак равенства треугольников)
• Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (1 признак подобия треугольников)
• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (2 признак подобия треугольников)
• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (3 признак подобия треугольников)
• Напротив равных углов лежат равные стороны.
• Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
• Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
• Площадь треугольника равна полупроизведению двух сторон треугольника на синус угла между ними.
• Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой (то есть делит основание на две равные части) и высотой (перпендикулярна основанию).
• Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы.
• Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
• Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. (теорема косинусов).
• Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.
• Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. (теорема синусов)
• Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
• Один из углов треугольника всегда не превышает 60°.
• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
• Биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.

Историческая справка

Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» греческое, в переводе означает «землемерие». Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Это требовало определённых знаний и умений. Начав с прямоугольников и треугольников, постепенно начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.

По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тысячи лет до нашей эры люди умели определять площади треугольников, прямоугольников, трапеций, приближенно вычислять площадь круга. Они знали также формулы для определения объёмов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измерении земли.

Сейчас геометрия – один из важнейших разделов математики. Конечно, она занимается не только измерением площадей. Мы будем относить в этот раздел задачи, так или иначе связанные с линиями на плоскости и в пространстве. Геометрические знания очень нужны художникам и архитекторам, проектировщикам дорог и космических кораблей. Да и любому человеку не помешает хорошее пространственное воображение.

В данном занятии мы познакомимся с некоторыми геометрическими фигурами, будем развивать геометрическое видение рисунка. У некоторых людей пространственное видение развито от природы очень хорошо, они в уме могут решать геометрические задачи, играть вслепую в шахматы, ориентироваться на местности. Не у всех это есть с рождения. Геометрические задания помогут развить такое воображение.

Начнем с самого начала – с геометрических объектов.

Какие фигуры могут быть равными?

В геометрии существует несколько основных фигур, которые могут быть равными. Это треугольник, трапеция, прямоугольник, параллелограмм, пятиугольник, круг, квадрат и эллипс. Равные фигуры имеют одинаковую форму и размеры, поэтому можно сказать, что они идентичны друг другу.

Например, два треугольника с одинаковыми сторонами и углами называются равными треугольниками. Они могут быть расположены в пространстве по-разному, но их форма и размеры будут одинаковыми.

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу. Если две трапеции имеют одинаковую форму и размеры, то они называются равными.

Прямоугольник с двумя парами противоположных равных сторон и четырьмя прямыми углами также может быть равен другому прямоугольнику

Для равенства прямоугольников важно, чтобы их соответствующие стороны и углы были равными

Параллелограмм — это четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Два параллелограмма называются равными, если соответствующие их стороны и углы равны.

Пятиугольник — это фигура с пятью сторонами. Если два пятиугольника имеют одинаковую форму и размеры, то они называются равными пятиугольниками.

Круг — это фигура, у которой все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. Два круга с одинаковыми радиусами называются равными. Они могут иметь разное положение в пространстве, но их форма и размеры будут одинаковыми.

Квадрат — это четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами. Если два квадрата имеют одинаковую форму и размеры, то они называются равными.

Эллипс — это кривая, полученная при пересечении плоскости и понижении скорости вращения. Если два эллипса имеют одинаковую форму и размеры, то они называются равными.

Равные треугольники

Треугольник — это многоугольник, который состоит из трех сторон и трех углов. Каждый треугольник имеет свои уникальные свойства, и одно из них — это равенство треугольников друг другу.

Два треугольника называются равными, если соответствующие стороны и углы одного треугольника равны соответствующим сторонам и углам другого треугольника. Это означает, что если у двух треугольников все стороны и углы равны, то эти треугольники считаются равными.

Существует несколько способов определить, когда два треугольника являются равными. Одним из них является Метод SAS (сторона-угол-сторона), где известны две стороны и угол между ними. Если у двух треугольников известны две стороны и угол между ними, и эти величины равны, то треугольники равны.

Еще один метод — это Метод SSS (сторона-сторона-сторона), при котором известны все три стороны треугольника. Если все три стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

Равные прямоугольники

Пятиугольник и параллелограмм — это фигуры, которые отличаются от прямоугольника, поэтому они не могут быть равными ему.

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Эллипс и трапеция также не считаются равными прямоугольникам, поскольку у них другая форма и строение.

Два прямоугольника называют равными, если они имеют одинаковые размеры, то есть равны между собой по всем сторонам и углам.

Треугольник не может быть равен прямоугольнику, так как он имеет меньшее количество сторон и углов.

Задачи на ромб и квадрат

Свойства параллелограмма

Чем отличаются признаки от свойств?Свойства нельзя путать с признаками, хоть они и очень похожи. Свойствами параллелограмма обладает фигура, уже являющаяся параллелограммом, тогда как признаки предназначены для выявления параллелограммов среди четырехугольников.

Свойства параллелограмма:

1. Противолежащие стороны равны.

2. Противолежащие стороны параллельны.

3. Противолежащие углы равны.

4. Сумма всех углов 360.

5. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

6. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180.

7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

8. Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника с одинаковой площадью.

9. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника

Дополнительные геометрические фигуры

В геометрии существует несколько основных геометрических фигур, таких как треугольник, квадрат и окружность. Однако существуют и дополнительные геометрические фигуры, которые могут отличаться своей формой и количеством сторон.

Среди таких дополнительных геометрических фигур можно выделить пятиугольник и шестиугольник. Оба этих многоугольника имеют больше сторон, чем основные геометрические фигуры, такие как треугольник и квадрат.

Вопрос о том, какая именно фигура из пятиугольника и шестиугольника является лишней, зависит от контекста. Если речь идет о геометрии плоскости, то лишней будет шестиугольник, так как он имеет больше сторон, чем пятиугольник. Однако при рассмотрении фигур в трехмерном пространстве, в котором у нас могут быть еще и многоугольники с большим количеством сторон, пятиугольник может оказаться лишним.

Таким образом, определение того, какая из геометрических фигур является лишней, зависит от контекста и конкретной задачи.

а) Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.

Для определения, какая геометрическая фигура из пяти лишняя, нужно рассмотреть каждую из них по отдельности и оценить их особенности.

1. Окружность — это фигура, в которой все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. Она не подходит в рассмотрение, так как имеет бесконечное количество сторон и углов.

2. Шестиугольник — это фигура, имеющая шесть сторон и шесть углов. Он также не является лишним в данном случае.

3. Квадрат — это фигура, имеющая четыре равные стороны и четыре прямых угла. Он также не подходит в рассмотрение, так как не является лишним.

4. Треугольник — это фигура, имеющая три стороны и три угла. В данном случае, треугольник также не является лишним, так как все остальные фигуры уже рассмотрены.

Таким образом, геометрическая фигура, которая из пяти представленных является лишней, отсутствует.

б) Пятиугольник

Пятиугольник — это геометрическая фигура, состоящая из пяти отрезков, соединенных вершинами. Он также называется пентагоном.

В данной теме рассматривается вопрос о лишней геометрической фигуре из пяти указанных выше. Варианты, которые следует рассмотреть, включают шестиугольник, треугольник и окружность.

Шестиугольник — это геометрическая фигура, состоящая из шести отрезков, соединенных вершинами. В отличие от пятиугольника, шестиугольник имеет больше сторон и углов. Он также называется гексагоном.

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех отрезков, соединенных вершинами. Треугольник имеет меньше сторон и углов, чем пятиугольник.

Окружность не является пятиугольником, так как она не имеет сторон и углов. Окружность представляет собой множество точек, равноотстоящих от определенной точки, называемой центром окружности.

Исходя из вышесказанного, лишней фигурой среди пяти указанных является окружность. Она отличается от пятиугольника, шестиугольника и треугольника отсутствием сторон и углов, характерных для этих многоугольников.

Примеры задач на равенство фигур

Одна из классических задач на равенство фигур — это задача о разрезании фигуры на части и последующем сборе ее в другую фигуру. Например, есть квадрат со стороной 6 см, который нужно разрезать на необходимое количество частей и собрать из них равнобедренный треугольник с той же площадью. Такую задачу рекомендуется решать с помощью геометрических выкладок.

Еще один популярный пример задач на равенство фигур — это задачи на нахождение площади фигур. Например, имеется параллелограмм со сторонами 6 и 8, и нужно найти площадь равного ему прямоугольника. Для этого можно использовать простую формулу для нахождения площади параллелограмма (основание на высоту) и равенство площадей равных фигур.

• Задача 1: Разрежьте круг на необходимое количество частей и соберите из них квадрат со стороной 8 см. Проверьте равенство фигур.
• Задача 2: Найдите площадь равного прямоугольника, если известна площадь треугольника со сторонами 7, 8, 9. Проверьте равенство фигур.
• Задача 3: Найдите углы равнобедренного треугольника, если известны его основание и высота. Также проверьте равенство фигур.

Трапеция или квадрат?

Когда речь идет о определении лишнего слова среди круга, ромба, трапеции, квадрата и треугольника, одним из наиболее сложных для многих людей является выбор между трапецией и квадратом. Оба этих геометрических фигуры имеют похожие свойства и формы, что может вызывать путаницу.

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами, называемыми основаниями. Остальные две стороны называются боковыми сторонами. В трапеции углы находящиеся по обе стороны от основания не параллельного боковым сторонам, называются вершинными. Трапеция имеет три вершины и два основания, которые могут быть как параллельными, так и непараллельными.

Квадрат, в свою очередь, является особой разновидностью прямоугольника, у которого все стороны равны. В квадрате все углы тоже равны 90 градусов. Квадрат имеет четыре вершины, четыре стороны и четыре угла, все из которых являются прямыми.

Сравнивая эти две фигуры, можно заметить, что трапеция имеет два основания, в то время как квадрат имеет четыре стороны, равные между собой. Также, трапеция имеет только два прямых угла, а квадрат имеет все четыре угла прямыми. Без этого учета, трапецию можно легко спутать с квадратом.

Если в задании появляется слово «трапеция» или «квадрат», то удаляется фигура, которая не является ни трапецией, ни квадратом. Таким образом, правильный ответ будет зависеть от конкретного задания и сравнения фигур в нем.

Что такое квадрат и ромб?

Площадь и периметр

Окружности

• В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.
• Все диаметры окружности равны между собой.
• Все радиусы окружности равны между собой.
• Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
• Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
• В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
• Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис.
• Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.
• Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.
• Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
• Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.
• Центр описанной окружности может находиться внутри треугольника (если он остроугольный), на стороне (если он прямоугольный) и вне треугольника (если он тупоугольный).
• В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
• Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
• Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
• Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
• Если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, то окружности касаются в одной точке.
• Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек.
• Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
• Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
• Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
• Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.
• Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
• Через любые три точки проходит не более одной окружности.
• Если четырехугольник вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
• Если в четырехугольник вписана окружность, суммы длин его противолежащих сторон равны.

Какие фигуры не могут быть равными?

В геометрии существуют различные фигуры, каждая из которых имеет свои характеристики и свойства. Некоторые из этих фигур могут быть равными друг другу, то есть иметь одинаковую форму и размеры. Однако, не все фигуры могут быть равными, и существуют определенные правила, которые определяют, какие фигуры не могут быть равными.

Треугольники, прямоугольники, пятиугольники, квадраты, трапеции, параллелограммы, круги и ромбы — все эти фигуры могут быть равными друг другу при выполнении определенных условий. Но не все сочетания этих фигур могут быть равными.

Например, треугольники различных размеров не могут быть равными. Для того чтобы треугольники были равными, их стороны и углы должны быть одинаковыми. Аналогично, прямоугольники и квадраты различных размеров также не могут быть равными. Для того чтобы прямоугольники или квадраты были равными, их стороны должны быть одинаковыми.

Также фигуры разной формы, такие как пятиугольники, трапеции и параллелограммы, не могут быть равными. Эти фигуры имеют различную форму и разные углы, поэтому они не могут быть равными друг другу. То же самое можно сказать и о кругах и ромбах. Круги имеют радиус и форму, а ромбы имеют стороны и углы, поэтому фигуры разных размеров не могут быть равными.

Таким образом, не все сочетания фигур могут быть равными. Для того чтобы фигуры были равными, они должны иметь одинаковую форму, размеры и углы. В противном случае, они считаются неравными. Знание этих правил поможет геометрикам определить, какие фигуры равны между собой, а какие — нет.

Разные треугольники

Треугольник — это многоугольник, который состоит из трех сторон и трех углов. В зависимости от длин сторон и величины углов, треугольники могут быть разными: равносторонними, равнобедренными и разносторонними.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Такой треугольник имеет три равных угла по 60 градусов каждый.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Такой треугольник имеет два равных угла и один разносторонний угол.

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны разные. Такой треугольник имеет три разных угла.

Кроме треугольников, существуют и другие фигуры, которые могут быть равными по разным параметрам.

Разные прямоугольники

В геометрии существует множество фигур, которые могут называться равными. Однако часто на практике встречаются различные прямоугольники. Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусов. Они могут иметь разные формы и размеры, но все они при правильном сравнении можно считать равными, если у них соответствуют одинаковые стороны и углы.

Помимо обычных прямоугольников, существуют другие фигуры, которые также могут называться равными. Так, квадрат – это прямоугольник с одинаковыми сторонами. Он является особым прямоугольником, так как имеет все стороны и углы равными.

Еще одним видом прямоугольников являются параллелограммы. Они имеют противоположные стороны параллельными и равными. Как и прямоугольники, внутри параллелограммов также все углы равны 90 градусов.

Среди прямоугольников можно выделить еще несколько видов фигур, которые также называются равными. Например, трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна. В некоторых случаях трапеции также могут быть равными, если у них соответствуют одинаковые стороны и углы.

Также существуют пятиугольники, они имеют пять сторон и пять углов. Такие фигуры могут быть равными только при совпадении всех сторон и углов.

Однако среди прямоугольников есть фигура, которая сама по себе не является прямоугольником, но может быть равной. Это эллипс – это замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой точки на кривой до двух фиксированных точек, называемых фокусами, одинакова для всех точек на кривой.

Углы

• Вертикальные углы равны.
• Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
• Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой внешние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внешних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.

Биссектриса в параллелограмме

Можно ли провести биссектрису в параллелограмме? Да. Биссектриса параллелограмма – это луч, исходящий из вершины угла параллелограмма, делящий этот угол на два равных угла и пересекающий одну из сторон параллелограмма.

Сколько крыс у биссектрисы?Значение биссектрисы легко запомнить, используя фразу “Биссектриса – это крыса, она бегает по углам и делит угол пополам”.Так как у треугольника три угла – соответственно, и крыс-биссектрис тоже три.

 Два факта связанные с биссектрисой в параллелограмме:

1. Биссектриса, проведенная из угла параллелограмма, отсекает от него равнобедренный треугольник.

2. Биссектрисы углов, принадлежащих одной стороне параллелограмма, пересекаются под прямым углом.

Определение

Пятиугольник — это фигура, состоящая из пяти сторон и пяти углов. Все его стороны и углы равны между собой.

Круг — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой центром круга. Все радиусы круга равны между собой.

Треугольник — это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. Все его стороны и углы равны между собой.

Прямоугольник — это фигура, имеющая четыре прямых угла и все ее углы равны 90 градусам. Противоположные стороны прямоугольника равны между собой.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны между собой. Все его углы равны 90 градусам.

Ромб — это фигура, у которой все стороны равны между собой. Все его углы равны между собой.

Параллелограмм — это фигура, у которой противоположные стороны равны и параллельны между собой. Противоположные углы параллелограмма равны между собой.

Эллипс — это фигура, которая представляет собой овал. Он определяется двумя фокусами и суммой расстояний от любой точки на эллипсе до двух фокусов, которая является константой.

Стереографическая двойственность

Изображения, формируемые на нашей сетчатке, — двухмерные

Важной задачей ГЛАЗа
является реконструирование трехмерной реальности из этих двухмерных изображений. Когда мы смотрим двумя глазами, два изображения на сетчатках наших глаз содержат
небольшие различия

Независимая программа ГЛАЗа использует эти различия для вычисления
(с высокой степенью точности для объектов, находящихся на расстоянии не более
50 метров) пространственных взаимосвязей между объектами и нашим телом, предоставляя
нам непосредственное представление об окружающем пространстве. Но даже изображения
с сетчатки одного глаза достаточно, чтобы создать правдоподобную трехмерную картину
окружающего мира. Превращение трехмерности в двухмерность формирует основу двойственности,
что иллюстрируется простым примером. Отрезок AB на рис. 8a может быть интепретирован
ГЛАЗом несколькими способами. Например, его можно рассматривать просто как отрезок,
нарисованный тушью на бумаге, а можно как отрезок прямой в пространстве, но мы не
можем сказать какая из точек A и B находится ближе к нам. Как только мы снабдим ГЛАЗ
чуть большей информацией, например, поместив отрезок AB внутрь рисунка куба, положения
точек A и B будут определены в пространстве. На рис. 8b точка A выглядит ближе точки B,
а также точка B выглядит ниже точки A. На рисунке 8c эти соотношения изменены наоборот.
На рис. 8d тот же самый отрезок AB расположен горизонтально в направлении от деревьев
на переднем плане к горизонту.

Рисунок 8.

Куб, у которого все двенадцать ребер изображены одинаковыми прямыми линиями
(рис. 9) называется кубом Некера в честь профессора минералогии L.A. Necker из Германии,
который первым изучал стереографическую двойственность c научной точки зрения.

Ромб и его свойства