Цифры и числа: отличия

Число и десятичная система счисления

Числа отличаются от цифр тем, что могут состоять как из одной, так и из нескольких цифр, записанных подряд
. Десятичная система счисления – это позиционная система. Значение цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в числе. Цифры – это тоже числа, но состоящие из одной цифры, которая занимает позицию в разряде единиц. Если необходимо записать число, следующее по порядку за 9, то нужно перейти к следующему разряду – разряду десятков.

Таким образом следующим числом будет 10 – один десяток, ноль единиц, 11 – один десяток одна единица, 12 – один десяток две единицы, 25 – два десятка пять единиц и так далее. После числа 99 идет число 100 – одна сотня ноль десятков ноль единиц. Дальше добавляются разряды тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов и т.д. Таким образом, добавляя слева новые разряды, мы можем пользоваться все большими и большими числами.

От пересчета предметов, который осуществляется с помощью натуральных чисел, человечество естественно перешло к счету мер длины, веса и времени. И тогда возникла проблема как считать нецелые части. Естественным образом появились обыкновенные дроби: половина, треть, четверть, пятая часть и т.п. Их стали записывать в виде числителя и знаменателя: в знаменателе записывали на сколько частей поделено целое, а в числителе – сколько таких частей берется. Например, половина – это 1/2, треть – 1/3, четверть – 1/4 и т.д.

НОД и НОК

Введем два определения.

Наибольший общий делитель (НОД) чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) — это максимальное такое число \(x\), что все \(a_i\) делятся на \(x\).

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) — это минимальное такое число \(x\), что \(x\) делится на все \(a_i\).

Например, * НОД(18, 30) = 6 * НОД(60, 180, 315) = 15 * НОД(1, N) = 1 * НОК(12, 30) = 6 * НОК(1, 2, 3, 4) = 12 * НОК(1, \(N\)) = \(N\)

Зачем они нужны? Например, они часто возникают в задачах.

Условие: Есть \(N\) шестеренок, каждая \(i\)-ая зацеплена с \((i-1)\)-ой. \(i\)-ая шестеренка имеет \(a_i\) зубчиков. Сколько раз нужно повернуть полносьтю первую шестеренку, чтобы все остальные шестеренки тоже вернулись на изначальное место?

Решение: Когда одна шестеренка крутится на 1 зубчик, все остальные тоже крутятся на один зубчик. Нужно найти минимальное такое число зубчиков \(x\), что при повороте на него все шестеренки вернутся в изначальное положение, то есть \(x\) делится на все \(a_i\), то есть это НОК(\(a_1, a_2, \ldots, a_N\)). Ответом будет \(\frac{x}{a_1}\).

Еще пример задачи на применение НОД и НОК:

Условие: Город — это прямоугольник \(n\) на \(m\), разделенный на квадраты единичного размера. Вертолет летит из нижнего левого угла в верхний правый по прямой. Вертолет будит людей в квартале, когда он пролетает строго над его внутренностью (границы не считаются). Сколько кварталов разбудит вертолёт?

Решение: Вертолет пересечет по вертикали \((m-1)\) границу. С этим ничего не поделать — каждое считается как новое посещение какого-то квартала. По горизонтали то же самое — \((n-1)\) переход в новую ячейку будет сделан.

Однако еще есть случай, когда он пересекает одновременно обе границы (то есть пролетает над каким-нибудь углом) — ровно тот случай, когда нового посещения квартала не происходит. Сколько таких будет? Ровно столько, сколько есть целых решений уравнения \(\frac{n}{m} = \frac{x}{y}\). Мы как бы составили уравнение движения вертолёта и ищем, в скольки целых точках оно выполняется.

Пусть \(t = НОД(n, m)\), тогда \(n = at, m = bt\).

Тогда \(\frac{n}{m} = \frac{a}{b} = \frac{x}{y}\). Любая дробь с натуральными числителем и знаменателем имеет ровно одно представление в виде несократимой дроби, так что \(x\) должно делиться на \(a\), а \(y\) должно делиться на \(b\). А значит, как ответ подходят \((a, b), (2a, 2b), (3a, 3b), \cdots, ((t-1)a, (t-1)b)\). Таких ответов ровно \(t = НОД(n, m)\)

Значит, итоговый ответ: \((n-1) + (m-1) — (t-1)\).

Кстати, когда \(НОД(a, b) = 1\), говорят, что \(a\) и \(b\) взаимно просты.

Единица

Единица – первое число в нумеральной системе. Она имеет особое значение и называется началом числовой последовательности. Единица обозначается символом «1».

Свойства единицы:

Единица является наименьшим натуральным числом.
Единица является основой для построения всех остальных чисел.
Единица уникальна и не имеет предшественника.

Примеры использования единицы:

Единица используется для обозначения количества однородных предметов или явлений.
Единица используется для измерения длины, времени, массы и других величин.
Единица используется в математических операциях, таких как сложение, вычитание, умножение и деление.

Интересные факты о единице:

Единица является символом единства и целостности.
Единица используется во многих областях, включая физику, экономику, информатику и культуру.
В некоторых традициях и религиях единица считается особенной и имеет мистическое значение.

Классы и разряды

Прочитать записи однозначных, двузначных и трехзначных чисел (например: 7, 54, 976) затруднений не вызывает.

Чтобы прочесть многозначное натуральное число, его необходимо разбить справа налево на группы по три цифры в каждой. Крайняя левая группа может состоять из одной или двух цифр.

Эти группы называют классами.

Три первые цифры справа ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и т. д.

Место, занимаемое цифрой в записи числа, называют разрядом.

Если считать справа налево, то первое место в записи числа называют разрядом единиц, второе — разрядом десятков, третье — разрядом сотен и т. д.

Например, в числе 5034 имеем 4 единицы разряда единиц, 3 единицы разряда десятков, 0 единиц разряда сотен и 5 единиц разряда тысяч.

Можно также сказать, что в классе единиц 34 единицы.

Перестановки с повторениями

До этого мы рассматривали случаи, когда все переставляемые объекты были различными. Однако порою некоторые из них не отличаются друг от друга. Пусть на полке надо расставить 3 книги, но две из них одинаковые. Сколько тогда существует перестановок? Общее число перестановок 3 книг составляет 3! = 6:

Здесь одинаковые книги отмечены как А и А1. Очевидно, что 1-ый и 2-ой варианты (А1АБ) и (АА1Б) на самом деле не отличаются друг от друга. В них отличается лишь порядок одинаковых книг А и А1. В первом случае за А1 следует А, а во втором, наоборот, за А следует А1. Тоже самое можно сказать про варианты 3 и 4, 5 и 6. Получается, что все возможные перестановки можно разбить на группы, в которых находятся «перестановки-дубликаты»:

А1АБ и АА1Б

А1БА и АБА1

БА1А и БАА1

В каждой группе находится ровно по два «дубликата». Почему именно по два? Это число равно количеству перестановок одинаковых книг. Так как одинаковых томов 2, а Р₂ = 2, то в каждой группе по 2 «дубликата». Действительно, если бы мы «убрали» с полки все книги, кроме повторяющихся, то там осталось бы только 2 одинаковых тома, которые можно переставить двумя способами.

Для того чтобы найти количество «оригинальных» перестановок, надо их общее количество поделить на число дубликатов в каждой группе.

6:2 = 3

Пусть теперь надо расставить 4 книги, из которых 3 одинаковы. Обозначим тома как А, А1, А2 и Б. Всего можно записать 4! = 24 перестановки. Однако каждые 6 из них будут дублировать друг друга. То есть их можно разбить на группы, в каждой из которых будет 6 идентичных «дубликатов»:

1-ая группа: БАА1А2, БАА2А1, БА1АА2, БА1А2А, БА2АА1, БА2А1А

2-ая группа: АБА1А2, АБА2А1, А1БАА2, А1БА2А, А2БАА1, А2БА1А

3-ая группа: АА1БА2, АА2БА1, А1АБА2, А1А2БА, А2АБА1, А2А1БА

4-ая группа: АА1А2Б, АА2А1Б, А1АА2Б, А1А2АБ, А2АА1Б, А2А1АБ

И снова для подсчета числа оригинальных перестановок надо из общее число расстановок поделить на количество дубликатов в каждой группе:

Р₄/Р₃ = 4!/3! = 24/6 = 4

Для обозначения перестановок с повторениями используется запись

Р_n(n₁, n₂, n₃,… n_k)

где n – общее количество объектов, а n₁, n₂, n₃,… n_k – количество одинаковых элементов. Например, в задаче с 4 книгами мы искали величину Р₄(3, 1), потому что всего книг было 4, но они были разбиты на две группы, в одной из которых находилось 3 одинаковых тома (буквы А, А1, А2), а ещё одна книга (Б) составляла вторую группу. Мы заметили, что для вычисления числа перестановок с повторениями надо общее число перестановок делить на количество дублирующих перестановок. Формула в общем случае выглядит так:

Решение. Вася должен расставить 3 урока испанского и 4 урока английского, тогда n₁ = 3, а n₂ = 4. Общее количество уроков равно 3 + 4 = 7. Тогда

Ответ: 35

Обратите внимание, что для удобства при делении факториалов мы не вычисляли их сразу, а пытались сократить множители. Так как в ответе любой комбинаторной задачи получается целое число, то весь знаменатель дроби обязательно сократится с какими-нибудь множителями в числителе

Пример. У мамы есть 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин. Эти фрукты она распределяет между 6 детьми. Сколькими способами она может это сделать, если каждый должен получить по фрукту?

Решение. Всего есть три группы фруктов. В первой находится 3 яблока, поэтому n₁ = 3. Во второй группе 2 банана, поэтому n₂ = 2. В третьей группе только 1 апельсин, поэтому n_k = 1. Общее число фруктов равно 6. Используем формулу:

Ответ: 60

В знаменателе формулы для перестановок с повторениями мы записываем число объектов в каждой группе одинаковых предметов. Так, если переставляются 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин, то в знаменателе мы пишем 3!•2!•1!. Но что будет, если в каждой группе будет находиться ровно один уникальный объект? Тогда мы запишем в знаменателе произведение единиц:

В итоге мы получили ту же формулу, что и для перестановок без повторов. Другими словами, перестановки без повтора могут рассматриваться просто как частный случай перестановок с повторами.

Число 1 и его значение

Число 1 является первым натуральным числом и единицей. Единица – базовое понятие в математике и физике, ведь она определяет коэффициент преобразования многих величин. Например, удельная емкость электродов – это емкость конденсатора на единицу поверхности электрода.

Одно из основных свойств числа 1 – это то, что при сложении или умножении любого числа на 1, результат будет равен этому числу. Это свойство называется нейтральным элементом. Также число 1 является делителем любого числа, кроме самого 0.

Число 1 также имеет символическое значение в различных областях знания. Например, в литературе и кинематографе часто используется образ одинокого героя или героини, отражающий их независимость и неповторимость.

Значение числа 1 в математике: первое натуральное число, нейтральный элемент сложения и умножения, делитель любого числа, кроме 0;
Значение числа 1 в физике: коэффициент преобразования многих величин, например, удельная емкость;
Символическое значение числа 1: одиночество, неповторимость, независимость.

Блестящая задача по математике

20.08.2008

Ещё в феврале я нашёл блестящую задачу по математике. Ходят слухи, что она была на олимпиаде для пятиклассников. Сегодня вспомнил, что обещал дать её решение. Итак, вашему вниманию одна из красивейших задач, которые я встречал в своей жизни.

Встречаются два приятеля — математика:

— Ну как дела, как живешь?
— Все хорошо, растут два сына дошкольника.
— Сколько им лет?
— Произведение их возрастов равно количеству голубей возле этой скамейки.
— Этой информации мне недостаточно.
— Старший похож на мать.
— Теперь я знаю ответ на твой вопрос.

Сколько лет сыновьям? (Ответ логичный и однозначный)

Не устану повторять — блестящая задача! Начинаю разбор по порядку шаг за шагом.

Для начала определимся с первым постулатом — дошкольники — для нас это первые цифры в задаче.

Следуя здравой логике, это дети в возрасте от одного года до шести лет. Можно взять и до семи, но на решении задачи это никак не скажется.

Следующий постулат — оба приятеля (в отличие от нас!) знают точно, сколько голубей возле скамейки

Это важно понимать, это один из ключей к решению задачи, и мы к нему вернёмся позже, а пока мы знаем, что произведение возрастов детей соответствует количеству голубей. Давайте переберём все возможные варианты:

1×1=1
1×2=2
1×3=3
1×4=4
1×5=5
1×6=6

2×2=4
2×3=6
2×4=8
2×5=10
2×6=12

3×3=9
3×4=12
3×5=15
3×6=18

4×4=16
4×5=20
4×6=24

5×5=25
5×6=30

6×6=36

Первое возможное решение

Из всех вариантов произведения возрастов мы имеем только три, которые встречаются больше одно раза и соответственно не дают однозначного ответа. Раз беседа продолжилась дальше, значит, голубей было либо 4, либо 6, либо 12. Подсказка о том, что дети разного возраста исключила вариант 2×2=4. Но всё равно осталось пять других вариантов, один с результатом 4, два с результатом 6 и два с результатом 12.

1×4=4
1×6=6
2×3=6
2×6=12
3×4=12

Но раз математик сказал, что теперь он знает ответ, значит, варианты с результатом 6 и 12 отпадают. Вспомните, это мы не знаем сколько голубей, а они знают. И раз не последовало дальнейших расспросов, то значит и не было других вариантов.

Второе возможное решение

Давайте подумаем. Мы имеем результат произведения каких-то двух чисел. Из задачи мы знаем, что приятелю математику уточнили что эти числа не равны, значит до уточнения были варианты что эти два числа между собой равны. Если числа могли быть равны, то значит количество голубей могло иметь такие варианты: 1, 4, 9, 16, 25, 36 (грубо говоря квадраты возможных возрастов). Единицу сразу исключаем, был бы голубь один, значит дети годовалые близняшки и продолжения разговора не было бы. Но разговор продолжили и нам сказали, что числа (возраста детей) между собой не равны. Значит, перемножили между собой две неравные цифры от 1 до 6. При таком условии мы не получим ни 9, ни 16, ни 25. Осталось только 4.

Ответ: детям соответственно один и четыре года.

Согласитесь, блестящая задача, для меня она воплощение красоты и логики математики. Я только до сих пор не могу поверить, что это задача была дана детям пятиклассникам на олимпиаде. Мне она оказалась не по мозгам. В интернете нашёл путаное объяснение, но оно помогло мне самому додумать полное решение. И ещё один спор помог мне обосновать и другое решение (на всякий случай, я сам додумал до второго способа, первый подсказали).

Деление по модулю*

Давайте все-таки научимся не только умножать, но и делить по простому модулю. Вот только что это значит?

\(a / b\) = \(a \times b^{-1}\), где \(b^{-1}\) — это обратный элемент к \(b\).

Определение: \(b^{-1}\) — это такое число, что \(bb^{-1} = 1\)

Утверждение: в кольце остатков по простому модулю \(p\) у каждого остатка (кроме 0) существует ровно один обратный элемент.

Например, обратный к \(2\) по модулю \(5\) это \(3\) (\(2 \times 3 = 1 \pmod 5\)))

Задание

Найдите обратный элемент к: * числу \(3\) по модулю \(5\) * числу \(3\) по модулю \(7\) * числу \(1\) по модулю \(7\) * числу \(2\) по модулю \(3\) * числу \(9\) по модулю \(31\)

Давайте докажем это утверждение: надо заметить, что если каждый ненулевой остаток \(1, 2, \ldots, (p-1)\) умножить на ненулевой остаток \(a\), то получатся числа \(a, 2a, \ldots, (p-1)a\) — и они все разные! Они разные, потому что если \(xa = ya\), то \((x-y)a = 0\), а значит \((x — y) a\) делится на \(p\), \(a\) — ненулевой остаток, а значит \(x = y\), и это не разные числа. И из того, что все числа получились разными, это все ненулевые, и их столько же, следует, что это ровно тот же набор чисел, просто в другом порядке!

Из этого следует, что среди этих чисел есть \(1\), причем ровно один раз. А значит существует ровно один обратный элемент \(a^{-1}\). Доказательство закончено.

Это здорово, но этот обратный элемент еще хочется быстро находить. Быстрее, чем за \(O(p)\).

Есть несколько способов это сделать.

Через малую теорему Ферма

Малая теорема Ферма: > \(a^{p-1} = 1 \pmod p\), если \(p\) — простое, \(a \neq 0 \pmod p\)).

Доказательство: В предыдущем пункте мы выяснили, что множества чисел \(1, 2, \ldots, (p-1)\) и \(a, 2a, \ldots, (p-1)a\) совпадают. Из этого следует, что их произведения тоже совпадают по модулю: \((p-1)! = a^{p-1} (p-1)! \pmod p\).

\((p-1)!\neq 0 \pmod p\) а значит на него можно поделить (это мы кстати только в предыдущем пункте доказали, поделить на число — значит умножить на обратный к нему, который существует).

А значит, \(a^{p — 1} = 1 \pmod p\).

Как это применить Осталось заметить, что из малой теоремы Ферма сразу следует, что \(a^{p-2}\) — это обратный элемент к \(a\), а значит мы свели задачу к возведению \(a\) в степень \(p-2\), что благодаря быстрому возведению в степень мы умеем делать за \(O(\log p)\).

Обобщение У малой теоремы Ферма есть обобщение для составных \(p\):

Теорема Эйлера: > \(a^{\varphi(p)} = 1 \pmod p\), \(a\) — взаимно просто с \(p\), а \(\varphi(p)\) — это функция Эйлера (количество чисел, меньших \(p\) и взаимно простых с \(p\)).

Доказывается теорема очень похоже, только вместо ненулевых остатков \(1, 2, \ldots, p-1\) нужно брать остатки, взаимно простые с \(p\). Их как раз не \(p-1\), а \(\varphi(p)\).

Для нахождения обратного по этой теореме достаточно посчитать функцию Эйлера \(\varphi(p)\) и найти \(a^{-1} = a^{\varphi(p) — 1}\).

Но с этим возникают большие проблемы: посчитать функцию Эйлера сложно. Более того, на предполагаемой невозможности быстро ее посчитать построены некоторые криптографические алгоритм типа RSA. Поэтому быстро делить по составному модулю этим способом не получится.

Через расширенный алгоритм Евклида

Этим способом легко получится делить по любому модулю! Рекомендую.

Пусть мы хотим найти \(a^{-1} \pmod p\), \(a\) и \(p\) взаимно простые (а иначе обратного и не будет существовать).

Давайте найдем корни уравнения

Они есть и находятся расширенным алгоритмом Евклида за \(O(\log p)\), так как \(НОД(a, p) = 1\), ведь они взаимно простые.

Тогда если взять остаток по модулю \(p\):

А значит, найденный \(x\) и будет обратным элементом к \(a\).

То есть надо просто найти \(x\) из решения того уравнения по модулю \(p\). Можно брать по модулю прямо походу решения уравнения, чтобы случайно не переполниться.

Получение названий числами

Прошло немало столетий, или даже тысячелетий, чтобы одинаковые числа стали относиться к различным предметам. В это время и возникли универсальные числовые названия.

История возникновения чисел очень глубокая и давняя. Сама жизнь привела людей к тому, что стало просто необходимо использовать символы для написания чисел.

Представьте, ведь давным-давно во времена, когда у людей не было цифр и они не умели считать как мы сейчас, у них все-равно возникало огромное количество поводов для счета. Правда, в те времена им не нужно было применять огромные числа. И самый простой вариант счета подсказала природа. Люди использовали пальцы рук, а при больших числах и ног, чтобы посчитать, например, количество голов скота в стаде. Если уж своих пальцев не хватало, звали приятеля, чтобы уже считать на его руках и ногах. Достаточно неудобно было, а вдруг никого рядом не окажется когда срочно нужно посчитать большое количество чего-нибудь?

Потом кто-то придумал делать глиняные кружочки для подсчета. Например, повел пастух с утра большое стадо на пастбище. Подсчитал всех животных с помощью кружков — сколько кружков, столько животных. Вечером привел их домой, опять смотрит, чтобы каждому животному соответствовал один кружок. Ну и подобных вариантов существовало множество, то есть пользовались подручными средствами.

Первое доказательство использования древними людьми счета — это волчья кость, на которой 30 тысяч лет назад сделали зарубки. Притом они набиты не как-нибудь, а сгруппированы по пять.

Основные свойства натуральных чисел

Конструктивное свойство числа способствует полному использованию его жизненной энергии в позитивном направлении.

Качество уклонения или избежания проявляется тогда, когда число мешает человеку видеть свои возможности в той или иной ситуации.

Третье качество обнаруживается тогда, когда число принимает деструктивный (мужской род) и разрушающий (женский род) характер.

Более того, в каждом числе содержится потенциальный выбор, с какой целью вы будете использовать его энергию:

Усовершенствовать себя как личность.

Оставить свои личностные качества без изменения.

Не дать ему исправить кое-что в своем характере.

Мы до сих пор не можем ответить на один очень важный вопрос.

Читайте другие статьи:

Счастливые и Несчастливые числа в Нумерологии
О чем говорит ваша дата рождения — судьба, внешность, здоровье по Нумерологии
Значение букв латинского алфавита по Нумерологии
Как узнать свое Управляющее число по Нумерологии

Символы вероятности и статистики

Вычисление

Как еще можно определить сколько всего двузначных натуральных чисел. Существует 10 возможных цифр для разряда единиц и 9 возможных цифр для разряда десятков. Так как мы не можем обозначить через 0 количество десятков — так как таких чисел двузначных не бывает.

Для каждого значения в разряде десятков есть десять вариантов записи числа единиц, например, если разряд десятков 1:

А всего у нас может быть 9 вариантов записи разряда десятков.

Значит общее количество можно получить, умножив количество вариантов записи десятков на количество вариантов записи единиц:

9·10=90.

Другими словами, существует 90 различных натуральных двузначных чисел, которые можно составить, используя цифры от 0 до 9. Самым маленьким будет 10, а самым большим — 99.

Приведем все из них (вы можете в дальнейшем возвращаться к этой записи при решении задач на похожую тему, когда нужно «найти все делящиеся на 2», «найти все кратные 8», например):

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39
40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49
50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59
60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69
70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79
80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89
90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99.

Подсчитаем количество четных и нечетных из них. В каждом ряду будет 5 четных (например, в первом ряду это будут 10, 12, 14, 16, 18) и 5 нечетных (в первом ряду 11, 13, 15, 17, 19), так как рядов всего 9, то получаем 45 четных двузначных чисел и 45 нечетных.

Простые числа

Простым называется натуральное число, которое делится только на единицу и на себя. Единица при этом простым числом не считается. Составным числом называют непростое число, которое еще и не единица.

Примеры простых чисел: \(2\), \(3\), \(5\), \(179\), \(10^9+7\), \(10^9+9\).

Примеры составных чисел: \(4\), \(15\), \(2^{30}\).

Еще одно определение простого числа: \(N\) — простое, если у \(N\) ровно два делителя. Эти делители при этом равны \(1\) и \(N\).

Проверка на простоту за линию

С точки зрения программирования интересно научиться проверять, является ли число \(N\) простым. Это очень легко сделать за \(O(N)\) — нужно просто проверить, делится ли оно хотя бы на одно из чисел \(2, 3, 4, \ldots, N-1\) . \(N > 1\) является простым только в случае, если оно не делится на на одно из этих чисел.

Проверка на простоту за корень

Алгоритм можно ускорить с \(O(N)\) до \(O(\sqrt{N})\).

Пусть \(N = a \times b\), причем \(a \leq b\). Тогда заметим, что \(a \leq \sqrt N \leq b\).

Почему? Потому что если \(a \leq b < \sqrt{N}\), то \(ab \leq b^2 < N\), но \(ab = N\). А если \(\sqrt{N} < a \leq b\), то \(N < a^2 \leq ab\), но \(ab = N\).

Иными словами, если число \(N\) равно произведению двух других, то одно из них не больше корня из \(N\), а другое не меньше корня из \(N\).

Из этого следует, что если число \(N\) не делится ни на одно из чисел \(2, 3, 4, \ldots, \lfloor\sqrt{N}\rfloor\), то оно не делится и ни на одно из чисел \(\lceil\sqrt{N}\rceil + 1, \ldots, N-2, N-1\), так как если есть делитель больше корня (не равный \(N\)), то есть делитель и меньше корня (не равный 1). Поэтому в цикле for достаточно проверять числа не до \(N\), а до корня.

Каноническая запись

В теме «Разложение на простые множители» встречается понятие «канонический вид» или «каноническая запись». Что означают эти страшные слова?

Канонический вид — это такой тип записи, который иначе можно назвать стандартным, общепринятым. То есть такой, что где бы вы ни показали записанное, вас обязательно поймут — и в Индии, и в Китае, и даже в Арктике (при условии, что вы показываете записи математикам, конечно).

Это как показать любому ученому химическую формулу Н2О: это каноническая, общепринятая запись для обозначения молекулы воды.

Но вернемся к простым множителям. Думаем, вы уже заметили, что при разложении могут повторяться одни и те же числа. Так, при разложении числа 128 мы получили аж семь двоек! Для упрощения записи произведение одинаковых множителей записывают с помощью степени.

Степень — это число, которое показывает, сколько раз множитель был умножен сам на себя.

52 = 5 × 5.

73 = 7 × 7 × 7.

104 = 10 × 10 × 10 × 10.

Таким образом, запись разложения на простые множители будет выглядеть так:

63 = 32 × 7;

52 = 22 × 13;

32 = 25.

Значение

Существуют разные варианты записи чисел. В зависимости от количества первоначальных цифр. В привычной нам десятичной системе их 10: от 0 до 9. Существует двоичная система, которая используется всего две цифры: 0 и 1. Эта система распространена в программировании. Существует множество других систем, каждая из которых когда-то использовалась человечеством. Но наиболее удобной была признана десятеричная с использованием арабских цифр.

В 5 классе изучают однозначные и многозначные натуральные числа. Получается, что в первом случае берется только одна цифра, а во втором – несколько. Наименьшим однозначным простейшим числом является «1», а наибольшим – «9».

Рис. 2. Состав числа.

Если в числе отсутствует разряд, то вместо него будет записана цифра «0». К примеру, запись «90» означает, что здесь содержится 9 десятков и 0 единиц. При этом разряды перед значащей цифрой тоже есть, но их не пишут. То есть, можно было бы записать «090», просто это загромождает запись.

Ход урока

Прозвенел и дан звонок Начинается урок математики.

Садитесь, пожалуйста.

Я рада этой новой встрече Мне с вами интересно, друзья! Необычные ваши ответы С удовольствием слушаю я. Мы сегодня снова будем считать Выводы делать и рассуждать. А чтобы урок пошёл каждому впрок, Активно в работу включайся, дружок!

Ребята, а вы любите сказки?

А как вы считаете на уроке математики можно попасть в сказку?

Но у нас сегодня необычный урок. Мы совершим путешествие в сказку. А в какую именно сказку мы отправимся, вы узнаете, посмотрев отрывок из мультфильма.

Просмотр отрывка из мультфильма «Бременские музыканты».

Так в какую же сказку мы совершим путешествие?

Учитель вывешивает на доску героев сказки

Кто главные герои этой сказки?

А кто – нибудь знает, кто написал эту сказку?

Эту замечательную сказку сочинили два брата Якоб и Вильгельм Гримм.

Учитель вывешивает на доску портреты сказочников.

Они были немецкими учёными. Но всю жизнь братья увлекались немецким фольклором, т. собирали песни, сказания древних германцев. Затем их обрабатывали и так получались замечательные сказки.

А кто из вас читал или слышал сказки Братьев Гримм?

Я вам советую прочитать великолепные произведения этих авторов.

Ну, а теперь Трубадур и его друзья приготовили для вас задание.

Скажите, какое сегодня число?

Ответы учащихся.

Какой день недели?

Какой сегодня месяц?

Какой день недели был вчера, будет завтра?

Какой сегодня месяц, время года?

Приготовьте, пожалуйста, веера.

Покажите, какое число следует за числом 5, 7, 1, 9?

Учащиеся, с помощью веера показывают числа.

Какое число имеет соседей 3 и 5, 7и 9, 4 и 6?

К какому числу прибавили 2 и получили 6?

Какое число предшествует числу 8, 2, 6, 4?

Молодцы, вы хорошо справились с заданием!

А сейчас герои сказки Кот и Петух приготовили для вас задание. Оно у вас на партах.

Учащиеся выполняют задание в форме теста. Содержание теста зависит от уровня подготовленности класса.

Выполняется под музыку Г. Гладкова.

Ребята, а сейчас вместе с «Бременскими музыкантами» мы попробуем сыграть на музыкальных инструментах.

Девочки, как принцессы на флейте, а мальчики как Трубадур на гитаре.

Учащиеся имитируют игру на музыкальных инструментах.

Ребята, сейчас вы делали физкультминутку под музыку Г. Гладкова.

Учитель вывешивает на доску портрет композитора.

Это автор многих музыкальных произведений, написанных для вас, т. для детей.

Введение в тему урока

Нас сегодня ждёт работа И успеть нам надо много. Так, друзья, скорее в путь. Чтоб времени зря не терять О том, что узнали на прошлых уроках Поспешим нашим гостям рассказать.

А для этого решим задачу на с. 3 № 2.

Учащиеся читают вслух условие задачи.

О ком эта задача?

Что делали Кот и Петух?

Как называют человека, который сочиняет песни?

Ребята, может быть кто – то из вас уже пробовал сочинять свои песни или стихи?

Что известно в задаче? Что неизвестно?

Сколько же песен мог сочинить Кот?

О каких числах мы сейчас говорили?

Числа от 1 до 9 и будет темой нашего урока.

На доске тема урока.

А теперь решим задачу о других сказочных героях с. 3 № 3.

Что делали Трубадур с друзьями? Что известно? Что неизвестно? Как узнать что неизвестно?

Запишем решение задачи в тетрадь.

Вспомните, о каком законе мы говорили на прошлых уроках и скажите, как по – другому можно записать решение этой задачи?

Каким способом было удобнее считать? Почему?

Запись задачи двумя способами.

Закрепление пройденного материала

Берись, ребята Скорей за работу. Учитесь считать. Чтоб не сбиться со счёту.

Прочитайте задание №4. Решаем только первую строчку.

Прочитайте первый пример. Как удобнее решать? Каким законом воспользуемся?

Запишем у доски и в тетрадях эти примеры.

Гимнастика для глаз.

А сейчас мы вместе с весёлыми музыкантами отдохнём. Посмотрим, что нас окружает справа, слева, вверху, внизу. Вытяните руки вперёд посмотрите на кончики пальчиков своей правой руки, левой руки. Посмотрите глазками прямо, вправо, влево, вверх, вниз.

А теперь наши гости хотят посмотреть, как вы научились работать самостоятельно.

Выполним задание № 5 по вариантам.

Поднимите руку 1 вариант, 2 вариант. 1 вариант решает первую строчку, 2 вариант решает вторую строчку.

Задание на с. 4 № 7.

Ребята, что интересного было сегодня на уроке?

Что нового узнали?

Вам помогла в этом сказка?

Ребята, вы все сегодня так хорошо работали, что Бременские музыканты приготовили для вас подарок с секретом. Соединив по точкам, вы узнаете персонажа сказки «Бременские музыканты».

Спасибо за урок!